投稿：师兄有话说之分分钟搞掂矩阵“特征值”要表示什么“特征”

来源：中国数据分析行业网 | 时间：2017-04-07 | 作者：数据委

作者：statist3927——暨南大学金融系，经济学硕士

从很多年前接触到“特征值”这个词开始，我就一直有个疑问没搞明白，为啥矩阵 “特征值”和“特征向量”中的“特征”，与我们日常理解的、一般口语中的“特征”差异怎么就那么大呢？

师兄有话说宣传图 师兄有话说：分分钟搞掂矩阵“特征值”要表示什么“特征”

比方说张飞的“特征”是高大，黑，大胡子……，但矩阵的“特征值”却是：设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx 成立，那么这样的数λ称为矩阵A的“特征值”。张飞的特征例子和特征值的定义放在一块，真的非常的风马牛不相及！矩阵的“特征值”想要表现矩阵的“特征”是什么？

直到最近我开始留意国外教材中，关于“特征值”的英文单词的“eigenvalue”的词根“eigen”后，最后形成了一把解开我心中这个结的钥匙。Eigen 翻译过来叫做“本征”、“固有的”、“自己的”。在这里，我认为“固有的”、“本征”解释会比“特征”更加贴近原意。在线性代数中，如果将一个向量在空间中展示的话，会有2个“固有”或“本征”的特性，一个是其方向，一个是其长度。一个方阵A左乘一个非零列向量x，往往是表示“将这个向量x进行线性转换”的意思。而转化的过程，就是通过A。举个例子来说，下图，要将向量v转化成向量V，那么就需要改变v的方向，然后拉长其长度。

师兄有话说示例图那怎么样在矩阵代数中实现呢？过程如下：

师兄有话说示例图1

这个时候回过头来再看看“eigenvalue”和“eigenvector”的定义，我们就能够借鉴上面的转换例子来了解到：这个矩阵A，对向量x进行了转换后，并没有改变其“固有”的方向，却只改变了向量的长度λ倍。所以说，这个时候和向量的“固有”特性、“本征”从语言和逻辑上就扯上关系了，而且还不是牵强附会那种。

为了进一步直观的理解上面的话，我们还是举二维向量的例子吧：

师兄有话说示例图2

用图表示就是：

师兄有话说示例图3

综合以上的分析过程看来，“eigenvalue”应该是这样理解：矩阵A在不改变某些向量“固有”方向的基础上，对向量只进行长度λ倍的变换，因此λ就是矩阵A能将这些向量进行保留“本征”变换的倍数值。而“eigenvector”就是矩阵A能够进行这种保留“本征”变换λ倍的那些向量。因此，有些港澳台或者国外翻译的教材，并不把“eigenvalue”翻译成特征值，而是“本征值”，我觉得这么翻译反而更有道理，更贴近原意。

当然了，说到最后，我还是觉得这次解惑的探索过程，应验了某句名言“问题讲清楚了，就解决了一半”。确实，很多求知过程中遇到的问题，理解不了，主要是因为没搞懂“概念”或者没能搞懂确切的含义。当搞清楚或澄清了“是什么”的问题后，问题反而就解决了！

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